Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（a-1）x+alnx，其中常數(shù)a∈R．
（Ⅰ）當a=6時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥

2(x-1)

x+1

恒成立；
（Ⅲ）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂）），使得在點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x₀=

x1+x2

2

，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當a=1時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”，并證明你的結論．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=6時，求函數(shù)導數(shù)，根據函數(shù)極值和導數(shù)之間的關系即可求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）構造函數(shù)g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，求函數(shù)的導數(shù)，即可證明不等式；
（Ⅲ）根據“中值伴侶切線”的定義，結合切線平行和斜率之間的關系，即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）當a=6時，f（x）=

1

2

x²-5x+6lnx，
f′（x）=x-5+

6

x

=

x2-5x+6

x

．（x＞0），
當f′（x）=0時，解得x=2或x=3，
當0＜x＜2或x＞3時，f′（x）＞0，即f（x）在（0，2），（3，+∞）上單調遞增，
當2＜x＜3時，f′（x）＜0，f（x）在（2，3）上單調遞減，
∴x=2為函數(shù)f（x）的極大值點，x=3為函數(shù)f（x）的極小值點．
（Ⅱ）令g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，（x≥1），
則g′（x）=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
∵x≥1，∴g′（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）上遞增，
∴g（x）≥g（1）=0（當且僅當x=1時等號成立），
即證：對任意x∈[1，+∞），lnx≥

2(x-1)

x+1

恒成立；   
（ III）當a=1，f（x）=

1

2

x²-+lnx，x＞0，
f′（x）=x+

1

x

，假設函數(shù)f（x）存在“中值伴侶切線”．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），M（x₀，y₀）是曲線y=f（x）上的不同點，且0＜x₁＜x₂，x₀=

x1+x2

2

，
則直線AB的斜率：kAB=

y2-y1

x2-x1

=

1 2 x22+lnx2- 1 2 x12-lnx1

x2-x1

=

1

2

（x₁+x₂）+

lnx2-lnx1

x2-x1

，
曲線在點M（x₀，y₀）處的切線斜率：k=f′（x₀）=f′（

x1+x2

2

）=

x1+x2

2

+

2

x1+x2

，
依題意：k_AB=k，即

1

2

（x₁+x₂）+

lnx2-lnx1

x2-x1

=

x1+x2

2

+

2

x1+x2

，
化簡得

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，
即ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，
 設t=

x2

x1

，則t＞1，上式化為lnt=

2(t-1)

t+1

，
由（2）知t＞1時，lnx＞

2(x-1)

x+1

恒成立．
∴在（1，+∞）內不存在t，使得lnt=

2(t-1)

t+1

成立．
綜上所述，假設不成立．所以，函數(shù)f（x）不存在“中值伴侶切線”．

點評：本題主要考查函數(shù)的極值和導數(shù)的關系，綜合考查導數(shù)的應用，考查學生的運算能力，綜合性較強，運算量較大．