Question

14．函數(shù)y=sin（ωx+φ）（φ＞0）的部分圖象如圖所示，設P是圖象的最高點，A，B是圖象與x軸的交點，若$cos∠APB=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，則ω的值為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由解析式求出函數(shù)的周期與最值，做出輔助線過p作PM⊥x軸于M，根據(jù)周期的大小看出直角三角形中直角邊的長度，解出∠APM與∠BPM的正弦、余弦函數(shù)值，利用cos∠APB=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求出ω的值．

解答 解：如圖，函數(shù)y=sin（ωx+φ），
∴AB=T=$\frac{2π}{ω}$，最大值為1，
過P作PM⊥x軸于M，則AM是四分之一個周期，有AM=$\frac{π}{2ω}$，MB=$\frac{3π}{2ω}$，MP=1，
∴AP=$\sqrt{1+\frac{{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}$，BP=$\sqrt{1+\frac{9{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}$，
在直角三角形AMP中，有cos∠APM=$\frac{MP}{AP}$，sin∠APM=$\frac{AM}{AP}$，
在直角三角形BMP中cos∠BPM=$\frac{MP}{BP}$，sin∠BPM=$\frac{BM}{BP}$．
cos∠APB=cos（∠APM+∠BPM）=$\frac{MP}{AP}$•$\frac{MP}{BP}$-$\frac{AM}{AP}•\frac{BM}{BP}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}•\sqrt{1+\frac{9{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}}$$\frac{\frac{π}{2ω}•\frac{3π}{2ω}}{\sqrt{1+\frac{{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}•\sqrt{1+\frac{9{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
化簡得：64ω⁴-160π²ω²+36π⁴=0，解得ω=$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象的應用與兩角和的余弦函數(shù)公式的應用，本題解題的關鍵是看出函數(shù)的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函數(shù)的定義得到結果，是中檔題．