Question

6．如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A′₁A₁中，點(diǎn)B，C在線段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁A′₁、AA′₁于點(diǎn)B₁、P，作CC₁∥AA₁，分別交A₁A′₁、AA′₁于點(diǎn)C₁、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A′A′₁與AA₁重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．則在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，直線AP與直線A₁Q所成角的余弦值為$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出AB，BC，BB₁兩兩互相垂直．以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，利用向量法能求出直線AP與A₁Q所成角的余弦值．

解答 解：在正方形AA'A'₁A₁中，∵A'C=AA'-AB-BC=5，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的邊AC=5．
∵AB=3，BC=4，
∴AB²+BC²=AC²，則AB⊥BC．
∵四邊形AA'A'₁A₁為正方形，AA₁∥BB₁，
∴AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，∴AB⊥平面BCC₁B₁，AB為四棱錐A-BCQP的高．
∵四邊形BCQP為直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
∵B₁B⊥AB，B₁B⊥BC，且AB∩BC=B，∴B₁B⊥平面ABC．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直棱柱，
∴AB，BC，BB₁兩兩互相垂直．
以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
則A（3，0，0），A₁（3，0，12），P（0，0，3），Q（0，4，7），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-3，0，3），$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=（-3，4，-5），∴cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{{A}_{1}Q}$＞=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{A}_{1}Q}}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{{A}_{1}Q}|}$=$\frac{1}{5}$，
∵異面直線所成角的范圍為（0，$\frac{π}{2}$]，
∴直線AP與A₁Q所成角的余弦值為$\frac{1}{5}$．
故答案為：$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．