Question

1．已知函數(shù)f（x）=-mcos（ωx+φ）（m＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，點A，B，C為f（x）的圖象與坐標軸的交點，且A（1，0），D（$\frac{5}{3}$，-$\frac{10}{3}$），$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$，則m=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用平面向量的坐標表示與運算，求出|AB|的值，從而求出函數(shù)f（x）的周期T與ω的值，再求出φ與m的值即可．

解答 解：設點B（x，0），C（0，y），又點D（$\frac{5}{3}$，-$\frac{10}{3}$），
∴$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{5}{3}$，-$\frac{10}{3}$-y），$\overrightarrow{DB}$=（x-$\frac{5}{3}$，$\frac{10}{3}$）；
又$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{3}=\frac{1}{2}（x-\frac{5}{3}）}\\{-\frac{10}{3}-y=\frac{1}{2}×\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
即點B（5，0），C（0，-5），所以|AB|=4；
所以T=$\frac{2π}{ω}$=2|AB|=8，
解得ω=$\frac{π}{4}$，
所以f（x）=-mcos（$\frac{π}{4}$x+φ）；
把點A（1，0）代入f（x）可得，cos（$\frac{π}{4}$+φ）=0，
所以$\frac{π}{4}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{4}$，
所以-mcos$\frac{π}{4}$=-5，解得m=5$\sqrt{2}$．
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了平面向量的坐標表示與運算問題，是綜合性題目．