Question

 已知雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)滿足.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線交軌跡于、兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在一點(diǎn)使得以、為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，試判斷點(diǎn)的活動(dòng)范圍；若不存在，試說明理由.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（1）雙曲線的方程可化為，則，，所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)且長軸長為4的橢圓，其方程為.………………………………………………………………（4分）

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得.設(shè)，由韋達(dá)定理得，.……………………（6分）

，，，

又.

因?yàn)橐?sub>、為鄰邊的平行四邊形為菱形，所以，

，即，整理得，

，.………………………………（8分）

若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），即；

若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），即.

綜上可得，滿足條件的點(diǎn)存在，其活動(dòng)范圍是軸上滿足且的區(qū)域.…………………………………………………………………………（10分）