Question

已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，在平面ABC所在平面上有一點P，M是AP的中點，滿足（

AC

-

AM

）•（

AB

-

AP

）=0，則|

BM

|的最小值為（　�。�

• A、

  7 - 3

  2

• B、

  3 -1

  2

• C、

  3

  2

• D、

  7

  2

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，C（2，0），A(1，

3

)．設(shè)M（x，y），由于M是AP的中點，可得P(2x-1，2y-

3

)．（

AC

-

AM

）•（

AB

-

AP

）=

MC

•

PB

=(x-2)(2x-1)+y(2y-

3

)=0，化為(x-

5

4

)2+(y-

3

4

)2=

3

4

．可得圓心Q(

5

4

，

3

4

)，半徑r=

3

2

．利用|

BM

|=

x2+y2

≥|BQ|-r．即可得出．

解答： 解：如圖所示，
C（2，0），A(1，

3

)．
設(shè)M（x，y），∵M(jìn)是AP的中點，則P(2x-1，2y-

3

)．
∴（

AC

-

AM

）•（

AB

-

AP

）=

MC

•

PB

=（x-2，y）•(2x-1，2y-

3

)=(x-2)(2x-1)+y(2y-

3

)=0，
化為(x-

5

4

)2+(y-

3

4

)2=

3

4

．
∴|

BM

|=

x2+y2

≥

( 5 4 )2+( 3 4 )2

-

3

2

=

7 - 3

2

．
故選：A．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、中點坐標(biāo)公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點與圓上的點的距離，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．