Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=1+log₂

x

1-x

的圖象上任意兩點(diǎn)，且

OM

=

1

2

（

OA

+

OB

），已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

1

2

．
（1）求證：M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；
（2）若S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

），n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（3）在（2）的條件下，已知a_n=

1 2                              n=1 1 (Sn+1)(Sn+1+1)    n≥2且n∈N*

，T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若T_n＜λ對(duì)一切n∈N^*都成立，試求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）確定M是A，B的中點(diǎn)，利用點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

1

2

，即可證明M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；
（2）由（1）知，x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，利用倒序相加法，可求S_n；
（3）利用裂項(xiàng)法求和，即可求λ的取值范圍．

解答： （1）證明：∵

OM

=

1

2

（

OA

+

OB

），
∴M是A，B的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

1

2

，
∴x₁+x₂=1，
∴y₁+y₂=1+log2

x1

1-x1

+1+log2

x2

1-x2

=1，
∴∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值

1

2

；
（2）解：由（1）知，x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，
∵S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

），
∴S_n=f（

n-1

n

）+…+f（

1

n

），
以上兩式相加得：2S_n=n-1，
∴S_n=

n-1

2

；
（3）解：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=4（

1

n+1

-

1

n+2

），
∴T_n=

2

3

+4（+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

2n

n+2

，
∴T_n≥2，
∵T_n＜λ對(duì)一切n∈N^*都成立，
∴λ＞2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．