Question

設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點．（如圖）
（1）證明：無論P點在什么位置，總有|

OP

|2=|

OQ

•

OR

|(O為坐標原點)；
（2）若以O(shè)P為邊長的正方形面積等于雙曲線實、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出

OR

、

OQ

的坐標，計算|

OQ

•

OR

|的值，把雙曲線方程與OP方程聯(lián)立解得 |

OP|

2，比較可得|

OP

|2=|

OQ

•

OR

|．
（2）由條件得：

a2b2(1+k2)

b2-a2k2

=4ab，根據(jù)k²＞0，得到b＞

a

4

，計算e=

a2+b2 a2

 的范圍．

解答：解：（1）設(shè)OP的方程為 y=kx，AR的方程為 y=

b

a

(x-a)，
解得 

OR

=(

-ab

ak-b

，

-kab

ak-b

)，同理可得

OQ

=(

ab

ak+b

，

kab

ak+b

)．
∴|

OQ

•

OR

|=|

-ab

ak-b

ab

ak+b

+

-kab

ak-b

kab

ak+b

|=|

a2b2(1+k2)

|a2k2-b2|

．
設(shè)

OP

=(m，n)，則由雙曲線方程與OP方程聯(lián)立解得：

m2= a2b2 b2-a2k2 ，n2= k2a2b2 b2-a2k2 ，

∴

| OP |2=m2+n2= a2b2 b2-a2k2 + k2a2b2 b2-a2k2 = a2b2(1+k2) b2-a2k2 ，

 
∵點P在雙曲線上，∴b²-a²k²＞0，無論點P在什么位置，總有  |

OP

|2=|

OQ

•

OR

|．
（2）由條件得：

a2b2(1+k2)

b2-a2k2

=4ab，即  k2=

4b2-ab

ab+4a2

＞0，
∴4b＞a，∴e=

c

a

=

a2+b2

a

＞

a2+( a 4 )2

a

=

17

4

，即 e＞

17

4

．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積，雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，式子的變形、化簡是解題的難點．