已知函數(shù)f(x)=2
x
+
4-x
，則函數(shù)f（x）的值域為
[2，2
5
]
[2，2
5
]
．
分析：先求函數(shù)的定義域，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域．
解答：解：要使函數(shù)有意義，則
x≥0
4-x≥0
，即0≤x≤4，即函數(shù)的定義域為[0，4]．
設(shè)x=4sin2θ，0≤θ≤
π
2
，
試題原函數(shù)等價為y=2
4sin2θ
+
4-4sin2θ
=4sinθ+2cosθ=2
5
(
2
5
sinθ+
1
5
cosθ)=2
5
sin(θ+α)，
所以函數(shù)的最大值為2
5
．
當(dāng)x=0時，函數(shù)有最小值y=
4
=2，
所以函數(shù)f（x）的值域為[2，2
5
]．
故答案為：[2，2
5
]．
點評：本題主要考查函數(shù)值域的求法，利用三角換元法是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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