Question

方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則

1. A.
   a∈∅（∅是空集）
2. B.
   a∈（5，9）
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：在同一坐標(biāo)系里作出函數(shù)f（x）=sin（x）和g（x）=log_ax的圖象，討論當(dāng)a＞1時(shí)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可得當(dāng)a∈（5，7）時(shí)，兩圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，同理可得在a∈（，）時(shí)，兩圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)．由此可得本題的正確答案．
解答：記f（x）=sin（x）和g（x）=log_ax，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
可以理解為函數(shù)f（x）的圖象g（x）恰有三個(gè)公共點(diǎn)．
作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下：

當(dāng)a＞1時(shí)，在a=5的情況下，對(duì)數(shù)函數(shù)y=g（x）恰好經(jīng)過函數(shù)三角y=f（x）的y軸右側(cè)的最大值點(diǎn)A（5，1），此時(shí)兩個(gè)圖象恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；而當(dāng)在a=9的情況下，對(duì)數(shù)函數(shù)y=g（x）恰好經(jīng)過函數(shù)三角y=f（x）的y軸右側(cè)的最大值點(diǎn)A（9，1），此時(shí)兩個(gè)圖象恰好有4個(gè)公共點(diǎn)；說明只有5＜a＜9時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)恰好為3個(gè)．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，同樣的方法可得，在a∈（，）時(shí)，兩圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)．
故原方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題以三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)為例，考查了函數(shù)零點(diǎn)與方程根的個(gè)數(shù)的討論等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．采用數(shù)形結(jié)合法，找圖象上的界點(diǎn)，從而找到實(shí)數(shù)a的臨界值，是解決本題的關(guān)鍵．