Question

如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，PC⊥BC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．
（1）求證：DM∥平面APC；
（2）求證：AP⊥平面PBC
（3）若BC=4，AB=20，求三棱錐D-BCM的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證DM∥平面APC，只需證明MD∥AP（因?yàn)锳P?面APC）即可．
（2）證明AP⊥PB，AP⊥PC，即可證明AP⊥平面PBC；
（3）因?yàn)锽C=4，AB=20，求出三棱錐的高，即可求三棱錐D-BCM的體積．

解答： （1）證明：由已知得，MD是△ABP的中位線，所以MD∥AP  …（1分）
因?yàn)镸D?平面APC，AP?平面APC，
所以MD∥平面APC  …（3分）
（2）證明：因?yàn)椤鱌MB為正三角形，D為PB的中點(diǎn)，
所以MD⊥PB，…（4分）
因?yàn)镸D∥AP，所以AP⊥PB，…（5分）
又因?yàn)锳P⊥PC，且PB∩PC=P
所以AP⊥平面PBC，…（8分）
（3）解：由（2）得AP⊥平面PBC，且MD∥AP，
所以MD⊥平面PBC
所以MD是三棱錐M-DBC的高，且在直角三角形PAB中∠PAB=60°，
所以MD=5

3

，…（10分）
又在直角三角形PCB中，由PB=10，BC=4，可得PC=2

21

．…（11分）
于是S_△BCD=

1

2

S_△BCP=2

21

，…（12分）
所以V_D-BCM=V_M-DBC=

1

3

Sh=10

7

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面的平行，三棱錐的體積，直線與平面垂直的判定，是中檔題．