Question

已知向量

a

=（2cosx，

3

sinx），

b

=（cosx，2cosx），f（x）=

a

•

b

+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

4

]時，求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：綜合題,平面向量及應用

分析：由題意，先化簡f（x）=

a

•

b

+1，得到f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2 
（Ⅰ）由復合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解之即可得出函數(shù)的增區(qū)間；
（Ⅱ）由于x∈[0，

π

4

]，先求出

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，再求出sin（2x+

π

6

）的取值范圍，即可得出函數(shù)的值域．

解答： 解：由題意，f（x）=

a

•

b

+1=2cos²x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2   …（2分）
（Ⅰ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z  …（5分）
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

4

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，．…（8分）
∴3≤2sin（2x+

π

6

）+2≤4，
∴函數(shù)y=f（x）的值域[3，4]…（10分）．

點評：本題考查向量與三角的綜合，是近幾年高考題中常見的類型，難度不大，認真計算，即可保證正確．