Question

【題目】已知以點C（t， ）（t∈R，t≠0）為圓心的圓過原點O．
（1）設直線3x+y﹣4=0與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，設B（0，2），且P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，求|PQ|﹣|PB|的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OM=ON，所以，則原點O在MN的中垂線上．

設MN的中點為H，則CH⊥MN，

∴C、H、O三點共線，

∵直線MN的方程是3x+y﹣4=0，

∴直線OC的斜率 = = ，解得t=3或t=﹣3，

∴圓心為C（3，1）或C（﹣3，﹣1）

∴圓C的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10或（x+3）2+（y+1）2=10

由于當圓方程為（x+3）2+（y+1）2=10時，圓心到直線3x+y﹣4=0的距離d＞r，

此時不滿足直線與圓相交，故舍去，

∴圓C的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10

（2）解：在三角形PBQ中，兩邊之差小于第三邊，故|PQ|﹣|PB|≤|BQ|

又B，C，Q三點共線時|BQ|最大

所以，|PQ|﹣|PB|的最大值為 ，

∵B（0，2），C（3，1），∴直線BC的方程為 ，

∴直線BC與直線x+y+2=0的交點P的坐標為（﹣6，4）

【解析】（1）由OM=ON得原點O在MN的中垂線上，由圓的弦中點性質和直線垂直的條件列出方程，求出t的值和C的坐標，代入圓的標準方程化簡，再驗證直線與圓的位置關系；（2）根據三邊關系判斷出取最大值的條件，由圓外一點與圓上一點距離最值問題求出最大值，由點斜式方程求出BC的直線方程，以及此時點P的坐標．