Question

【題目】如圖，在邊長為的菱形中，，與交于點，將沿直線折起到的位置（點不與，兩點重合）.

（1）求證：不論折起到何位置，都有平面；

（2）當平面時，點是線段上的一個動點，若與平面所成的角為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）或.

【解析】

（1）由線面垂直的判定定理，即可證明平面；

（2）用空間向量的方法，以，，的方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系，設，用表示出直線與平面所成角的余弦值，再由與平面所成的角為，即可求出結果.

（1）證明：因為四邊形是菱形，所以.

因為，點是的中點，

所以.

又因為平面，平面，，

所以平面.

（2）解：以，，的方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系如下圖所示.

易知，，，

則點，，，

所以，.

設，則.

所以.

設平面的一個法向量為，則

由得解得

令，得平面的一個法向量為，

所以，

解得.

故所求的值為或.