Question

7．如圖，已知F（1，0）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點，離心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）P為橢圓上一點，橢圓在P點處的切線與直線x=c和右準線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$分別交于點M，N．
①若P（0，1），求$\frac{MF}{NF}$的值；
②探究當P在橢圓上移動時，$\frac{MF}{NF}$的值是否為定值？若是，求出此定值，否則，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意c=1，a=$\sqrt{2}$，b=1，即可求橢圓的方程；
（2）①若P（0，1），則M（1，1），N（2，1），即可求$\frac{MF}{NF}$的值；
②求出切線方程，利用兩點間的距離公式，再代入化簡，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）①若P（0，1），則M（1，1），N（2，1），
∴$\frac{MF}{NF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②設P（m，n），則切線方程為$\frac{mx}{2}$+ny=1，
設方程為y=kx+t，則k=-$\frac{m}{2n}$，t=-$\frac{1}{n}$，
∴t²=2k²+1，∴M（1，k+b），N（2，1-2k+b），
∴（$\frac{MF}{NF}$）²=$\frac{{k}^{2}+^{2}+2kb}{4{k}^{2}+4kb+^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{MF}{NF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
綜上所述，當P在橢圓上移動時，$\frac{MF}{NF}$的值是定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．