Question

20．如圖，在△ABC中，BC邊上的中線AD長為3，且cosB=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，cos∠ADC=-$\frac{1}{4}$．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）求AC邊的長．

Answer 1

分析 （1）由同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角差的正弦公式即可求出；
（2）由正弦定理和余弦定理即可求出．

解答 解：（1）因為cosB=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，所以sinB=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．
又cos∠ADC=-$\frac{1}{4}$，所以sin∠ADC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
所以sin∠BAD=sin（∠ADC-∠B）
=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{10}}{8}$-（-$\frac{1}{4}$）×$\frac{3\sqrt{6}}{8}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（2）在△ABD中，由$\frac{AD}{sinB}$=$\frac{BD}{sin∠BAD}$得$\frac{3}{\frac{3\sqrt{6}}{8}}$=$\frac{BD}{\frac{\sqrt{6}}{4}}$，
解得BD=2．
故DC=2，從而在△ADC中，由AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cos∠ADC
=3²+2²-2×3×2×（-$\frac{1}{4}$）=16，
得AC=4．

點評 本題考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的運用，屬于中檔題．