Question

15．在平面直角坐標系xOy中，斜率為1的直線l過定點（-2，-4）．以O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的極坐標方程為ρsin²θ-4cosθ=0．
（1）求曲線C的直角坐標方程以及直線l的參數方程；
（2）兩曲線相交于M，N兩點，若P（-2，-4），求|PM|+|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）由斜率為1的直線l過定點（-2，-4），可得參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+tcos\frac{π}{4}}\\{y=-4+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，（t為參數）．由曲線C的極坐標方程為ρsin²θ-4cosθ=0，即ρ²sin²θ-4ρcosθ=0，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）把直線l的方程代入拋物線方程可得：t²-12$\sqrt{2}$t+48=0．利用根與系數的關系及其|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|即可得出．

解答 解：（1）由斜率為1的直線l過定點（-2，-4），可得參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數）．
由曲線C的極坐標方程為ρsin²θ-4cosθ=0，即ρ²sin²θ-4ρcosθ=0，可得直角坐標方程：C：y²=4x．
（2）把直線l的方程代入拋物線方程可得：t²-12$\sqrt{2}$t+48=0．
∴t₁+t₂=12$\sqrt{2}$，t₁t₂=48．
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=12$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、直線的參數方程及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．