Question

【題目】在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：AB∥平面DEG；

（Ⅱ）求二面角C-DF-E的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)∴四邊形是平行四邊形∴∴平面(Ⅱ)

【解析】

試題（Ⅰ）利用判定定理證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條與已知直線平行的直線，解題時(shí)可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過平行線分線段成比例等；（Ⅱ）1．使用空間向量求解空間角的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系后，將空間角轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，然后借助于直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何中的計(jì)算問題．在角的問題中，線面角和二面角是重點(diǎn)．2．注意角的范圍，如異面直線所成角的范圍是，線面角的范圍是，二面角的范圍是.

試題解析：（Ⅰ）證明：∵，∴.

又∵，是的中點(diǎn)，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴. 2分

∵平面，平面， ∴平面. 4分

（Ⅱ）解∵平面，平面，平面，

∴，，

又，∴兩兩垂直.

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系. 6分

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2）． 7分

由已知得是平面的法向量. 8分

設(shè)平面的法向量為，

∵，

∴，即，令,得. 10分

設(shè)二面角的大小為，由圖知為鈍角，

∴，

∴二面角的余弦值為12分