Question

9．已知經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與直線l₁：x+y+2=0，l₂：2x+3y+1=0分別交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)恰好是原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 設(shè)出直線l的方程，根據(jù)這條直線與另外兩條直線都相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)原點(diǎn)是兩個交點(diǎn)的中點(diǎn)，求出直線的斜率，即可得出方程．

解答 解：由題意，直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)斜率為k，則直線l的方程為y=kx；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{x+y+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-2}{k+1}}\\{y=\frac{-2k}{k+1}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A（$\frac{-2}{k+1}$，$\frac{-2k}{k+1}$）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{2x+3y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1}{2+3k}}\\{y=\frac{-k}{2+3k}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B（$\frac{-1}{2+3k}$，$\frac{-k}{2+3k}$）；
又原點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴$\frac{-2}{k+1}$+$\frac{-1}{2+3k}$=0，
解得k=-$\frac{5}{7}$；
∴直線l的方程為y=-$\frac{5}{7}$x．

點(diǎn)評 本題考查了兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解題的關(guān)鍵是正確寫出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出斜率，是基礎(chǔ)題目．