Question

19．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是空間單位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，若空間向量$\overrightarrow{c}$滿足對(duì)于任意x、y∈R，|$\overrightarrow{c}$-（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）|≥|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|=2，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的大小是$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow$在$\overrightarrow{c}$上的投影是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角，設(shè)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標(biāo)，根據(jù)|$\overrightarrow{c}$-（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）|≥|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|=2得出$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)，進(jìn)而求出答案．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1×1×cosθ=$\frac{1}{2}$，∴cos$θ=\frac{1}{2}$，∴$θ=\frac{π}{3}$．
設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{c}$=（m，n，z），∵|$\overrightarrow{c}$-（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）|≥|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|=2，∴z≥2，（m-$\frac{1}{2}$）²+（n-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+z²=4，∴m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，z=2．
∴$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）．|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，∴$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=1，cos＜$\overrightarrow，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．∴$\overrightarrow$在$\overrightarrow{c}$上的投影為|$\overrightarrow$|•cos＜$\overrightarrow，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），∴|$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（{\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故答案為$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的夾角公式，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求出$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．