Question

已知函數(shù)f（x）定義域是{x|x≠

k

2

，k∈Z，x∈R}，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-

1

f(x)

，當(dāng)

1

2

＜x＜1時：f（x）=3^x．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）求f（x）在（0，

1

2

）上的表達(dá)式；
（3）是否存在正整，使得x∈（2k+

1

2

，2k+1）時，log₃f（x）＞x²-kx-2k有解，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（x+1）=-

1

f(x)

，得到周期為2；再結(jié)合f（x）+f（2-x）=0即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）任取x∈（0，

1

2

）⇒-x∈（-

1

2

，0）⇒1-x∈（

1

2

，1）；再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)以及當(dāng)

1

2

＜x＜1時：f（x）=3^x即可得到結(jié)論；
（3）先根據(jù)所求結(jié)論得到f（x）=f（x-2k）=3^x-2k；把不等式轉(zhuǎn)化為x²-（k+1）x＜0在x∈（2k+

1

2

，2k+1）上有解（k∈N₊），得到（0，k+1）∩（2k+

1

2

，2k+1）≠∅，即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x+2）=f（x+1+1）=-

1

f(x+1)

=f（x），
所以f（x）的周期為2…（2分）
所以f（x）+f（2-x）=0⇒f（x）+f（-x）=0，
所以f（x）為奇函數(shù)．…（4分）
（2）任取x∈（0，

1

2

）⇒-x∈（-

1

2

，0）⇒1-x∈（

1

2

，1）．
∴f（x）=-f（-x）=

1

f(1-x)

∴f（x）=

1

31-x

=3x-1．…（8分）
（3）任取x∈（2k+

1

2

，2k+1）⇒x-2k∈（

1

2

，1），
∴f（x）=f（x-2k）=3^x-2k；
∴l(xiāng)og₃f（x）＞x²-kx-2k有解
即x²-（k+1）x＜0在x∈（2k+

1

2

，2k+1）上有解（k∈N₊），
所以：（0，k+1）∩（2k+

1

2

，2k+1）≠∅，
故有k+1＞2k+

1

2

，無解．
故不存在這樣的正整數(shù)．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷．具備奇偶性的函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對稱，再依據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義做出判斷．