Question

已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式有解，求實(shí)數(shù)m的取值菹圍；
（3）證明：當(dāng)a=0時(shí)，.

Answer 1

(1)參考解析；（2）；（3）參考解析

試題分析：(1)由于，.需求的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，在討論的范圍即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）本小題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為，求實(shí)數(shù)m的取值菹圍，使得有解，等價(jià)于小于函數(shù)，的最小值.所以對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的解析式，通過(guò)應(yīng)用基本不等式，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最小值.即可得到結(jié)論.
（Ⅲ）由于）當(dāng)時(shí)，.本小題解法通過(guò)構(gòu)造.即兩個(gè)函數(shù)與的差，通過(guò)等價(jià)證明函數(shù)的最小值與函數(shù)的最大值的差大于2.所以對(duì)兩個(gè)函數(shù)分別研究即可得到結(jié)論.
試題解析：(1)的定義域是，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得.則當(dāng)時(shí).，所以單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
（2）由題意：有解，即有解，因此只需有解即可，設(shè)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043514043909.png" style="vertical-align:middle;" />，且時(shí)，所以，即.故在上遞減，所以故.
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，與的公共定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043513591535.png" style="vertical-align:middle;" />，，設(shè)，.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043514511755.png" style="vertical-align:middle;" />，在單調(diào)遞增..又設(shè)，，.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以為的極大值點(diǎn)，即.故.