Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M、N分別在AB₁、BC₁上，且，則下列結(jié)論①AA₁⊥MN；②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④B₁D₁⊥MN中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：先把點(diǎn)M，N放入與平面A₁B₁C₁D₁平行的平面GFEH中，利用線面垂直的性質(zhì)判斷①正確，利用平行公理判斷②錯(cuò)誤，利用面面平行的性質(zhì)判斷③正確，利用面面平行以及線線垂直的性質(zhì)判斷④錯(cuò)誤，就可得到結(jié)論．
解答：解；在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的四條棱A₁A，B₁B，C₁C，D₁D上分別取點(diǎn)G，F(xiàn)，E，H四點(diǎn)，
使AG=A₁A，BF=B₁B，CE=C₁C，DH=D₁D，連接GF，F(xiàn)E，EH，HG，
∵點(diǎn)M、N分別在AB₁、BC₁上，且，
∴M在線段GF上，N點(diǎn)在線段FE上．且四邊形GFEH為正方形，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥平面GFEH，∵M(jìn)N?平面GFEH，∴AA₁⊥MN，∴①正確．
∵A₁C₁∥GE，而GE與MN不平行，∴A₁C₁與MN不平行，∴②錯(cuò)誤．
∵平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，MN?平面GFEH，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，∴③正確．
∵B₁D₁⊥FH，F(xiàn)H?平面GFEH，MN?平面GFEH，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
且MN與FH不平行，∴B₁D₁不可能垂直于MN，∴④錯(cuò)誤
∴正確命題只有①③
故選C
點(diǎn)評：本題主要考查立體幾何中，線線，線面，面面平行與垂直性質(zhì)的應(yīng)用，考查了學(xué)生推論能力．空間想象力．