已知對任意m∈R,直線x+y+m=0都不是f(x)=x3-3ax(a∈R)的切線.
(I)求a的取值范圍;
(II)求證在x∈[-1,1]上至少存在一個x,使得成立.
【答案】分析:(I)求出f(x)導函數(shù)的值域,由直線x+y+m=0都不是f(x)=x3-3ax的切線得到-1不屬于導函數(shù)的值域,得到關于a的不等式,求出解集得到a的取值范圍即可;
(II)要證的問題等價于當x∈[-1,1]時,,設g(x)=|f(x)|,g(x)在x∈[-1,1]上是偶函數(shù),故只要證明當x∈[0,1]時,,分a小于等于0和a大于0小于兩種情況,討論f'(x)的正負化簡絕對值并得到函數(shù)的增減區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性分別求出|f(x)|的最小值比大得證.
解答:解:(I)f'(x)=3x2-3a∈[-3a,+∞),
∵對任意m∈R,直線x+y+m=0都不是y=f(x)的切線,
∴-1∉[-3a,+∞),-1<-3a,實數(shù)a的取值范圍是;
(II)證明:在x∈[-1,1]上至少存在一個x,使得成立等價于當x∈[-1,1]時,
設g(x)=|f(x)|,g(x)在x∈[-1,1]上是偶函數(shù),故只要證明當x∈[0,1]時,,
①當a≤0時,f'(x)≥0,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增且f(0)=0,g(x)=f(x),;
②當,,列表:

f(x)在上遞減,在上遞增,
,
時,g(x)=-f(x),時,g(x)=f(x),

,即,則
,即,則;
∴在x∈[-1,1]上至少存在一個x,使得成立.
點評:此題是一道綜合題,要求學生會利用導數(shù)求曲線上某點切線方程的斜率,掌握不等式恒成立時所取的條件以及導數(shù)在最值問題中的應用.
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