Question

如圖，已知點A（1，1）和單位圓上半部分上的動點B．
（1）若

OA

⊥

OB

，求向量

OB

；
（2）求|

OA

+

OB

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出B（cosθ，sinθ），0≤θ≤π，在根據(jù)

OA

⊥

OB

列出關(guān)于θ的三角方程即可
（2）根據(jù)|

OA

+

OB

|的定義將之轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的三角函數(shù)

3+2(sinθ+cosθ)

，并將之平方得|

OA

+

OB

|2=3+2(sinθ+cosθ)，最后在將sinθ+cosθ平方求出范圍即可

解答：解：（1）依題意，B（cosθ，sinθ），0≤θ≤π（不含1個或2個端點也對）

OA

=（1，1），

OB

=（cosθ，sinθ）（寫出1個即可），
因為

OA

⊥

OB

，所以

OA

•

OB

=0，即cosθ+sinθ=0，
解得θ=

3π

4

，所以O(shè)B=（-

2

2

，

2

2

）．
（2）

OA

+

OB

=（1+cosθ，1+sinθ），
則|OA+OB|=

(1+cosθ)2+(1+sinθ)2

=

3+2(sinθ+cosθ)

，
∴|

OA

+

OB

|2=3+2(sinθ+cosθ)，
令t=sinθ+cosθ，則t²=1+sin2θ≤2，即t≤

2

，
∴|

OA

+

OB

|2≤3+2

2

=(

2

+1)2，有|

OA

+

OB

|≤

2

+1
當(dāng)2θ=

π

2

，即θ=

π

4

時，|

OA

+

OB

|取得最大值

2

+1．

點評：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，解三角方程以及三角函數(shù)知識，屬于基礎(chǔ)題．