Question

如圖，已知點(diǎn)A（-1，0）與點(diǎn)B（1，0），C是圓x²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至D，使得|CD|=|BC|，求AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析：先設(shè)出相應(yīng)的坐標(biāo)，然后用要求的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出已知軌跡方程的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入已知的軌跡方程，即可求出點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的方程．本題宜先借且圖象分析其幾何 特征，將幾何特征進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化．

解答：解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由題意可知P是△ABD的重心，故連接AD．
由A（-1，0），B（1，0），令動(dòng)點(diǎn)C（x₀，y₀），則D（2x₀-1，2y₀），
由重心坐標(biāo)公式：

x= -1+1+(2x0-1) 3 y= 2y0 3

則

x0= 3x+1 2 y0= 3y 2 (y0≠0)

代入x²+y²=1，整理得所求軌跡方程為（x+

1

3

）²+y²=

4

9

（y≠0）．

點(diǎn)評(píng)：考查代入法求軌跡方程，本題對(duì)識(shí)圖的能力要求較高．尤其是P點(diǎn)是三角形的重心這個(gè)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，必對(duì)圖形進(jìn)行細(xì)致的分析事才能發(fā)現(xiàn)．