Question

已知關(guān)于x的三角方程sin（x+

π

4

）-sin2x=a有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：將原式化簡為：sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

-2sinxcosx=a，然后換元，設(shè)t=sinx+cosx，將問題轉(zhuǎn)化成方程2t2-

2

t+2a-2=0在區(qū)間[-

2

，

2

]上有實根，然后利用一元二次方程根的分布求解a的取值范圍．

解答： 解：由sin（x+

π

4

）-sin2x=a，
得sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

-2sinxcosx=a，
即

2

2

(sinx+cosx)-2sinxcosx=a，
設(shè)t=sinx+cosx，t∈[-

2

，

2

]，
則2sinxcosx=t²-1，代入

2

2

(sinx+cosx)-2sinxcosx=a，得
2t2-

2

t+2a-2=0，
∴關(guān)于x的方程sin（x+

π

4

）-sin2x=a有實數(shù)解，
等價于方程2t2-

2

t+2a-2=0在區(qū)間[-

2

，

2

]上有實根，
設(shè)函數(shù)f（x）=2t²-

2

tat+2a-2，
①當方程2t2-

2

t+2a-2=0在區(qū)間[-

2

，

2

]上有一個實根時，
即f（-

2

）•f（

2

）≤0，
∴[2×(-

2

)2-

2

×(-

2

)+2a-2] [2×(

2

)2-

2

×

2

+2a-2]≤0．
解得：-2≤a≤0；
②當方程2t2-

2

t+2a-2=0在區(qū)間[-

2

，

2

]上有2個實根時，

(- 2 )2-8(2a-2)≥0 f(- 2 )=2×(- 2 )2- 2 ×(- 2 )+2a-2≥0 f( 2 )=2×( 2 )2- 2 × 2 +2a-2≥0

，
解得：0≤a≤

9

8

．
∴a的取值范圍為[-2，

9

8

]．

點評：本題重點考查了三角公式、二次方程等知識，屬于中檔題，考查分類討論思想的靈活運用．