Question

19．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，0＜x≤1}\\{\frac{1}{2}f（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，則方程f（x）=$\frac{1}{x}$在[-3，+∞）上的所有實根之和為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 由奇函數(shù)可將問題轉(zhuǎn)化為求方程f（x）=$\frac{1}{x}$在（3，+∞）上的所有實根之和，從而解得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
y=$\frac{1}{x}$在其定義域上也是奇函數(shù)；
∴方程f（x）=$\frac{1}{x}$在[-3，3]上的所有實根之和為0，
故問題轉(zhuǎn)化為求方程f（x）=$\frac{1}{x}$在（3，+∞）上的所有實根之和，
當x∈（3，4]時，f（x）=$\frac{1}{8}$•2^x-3，故$\frac{1}{8}$＜f（x）≤$\frac{1}{4}$，
而$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{3}$，
故當x=4時，方程f（x）=$\frac{1}{x}$成立；
可判斷當x＞4時，f（x）＜$\frac{1}{x}$恒成立，故方程f（x）=$\frac{1}{x}$無解，
故方程f（x）=$\frac{1}{x}$在[-3，+∞）上的所有實根之和為4，
故選A．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)與方程的關(guān)系應(yīng)用．