Question

已知拋物線C₁：x²+by=b²經(jīng)過橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點．
（1）求橢圓C₂的離心率；
（2）設(shè)Q（3，b），又M，N為C₁與C₂不在y軸上的兩個交點，若△QMN的重心在拋物線C₁上，求C₁和C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1寫出其焦點坐標(biāo)，代入拋物線C₁：x²+by=b²，求得b，c的方程，由a²=b²+c^{2_{，可求得}}橢圓C₂的離心率；
（2）聯(lián)立拋物線C₁的方程橢圓C₂的方程，求出M，N的坐標(biāo)，求出△QMN的重心坐標(biāo)，代入拋物線C₁，即可求得C₁和C₂的方程．

解答：解：（1）因為拋物線C₁經(jīng)過橢圓C₂的兩個焦點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
所以c²+b×0=b²，即c²=b²，由a²=b²+c²=2c²
得橢圓C₂的離心率e=

2

2

．
（2）由（1）可知a²=2b²，橢圓C₂的方程為：

x2

2b2

+

y2

b2

=1
聯(lián)立拋物線C₁的方程x²+by=b²得：2y²-by-b²=0，
解得：y=-

b

2

或y=b（舍去），所以x=±

6

2

b，
即M(-

6

2

b，-

b

2

)， N(

6

2

b，-

b

2

)，所以△QMN的重心坐標(biāo)為（1，0）．
因為重心在C₁上，所以1²+b×0=b²，得b=1．
所以a²=2．
所以拋物線C₁的方程為：x²+y=1，
橢圓C₂的方程為：

x2

2

+y2=1．

點評：此題是個中檔題，考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點三角形來確認(rèn)方程．