Question

20、已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O₁是上底面對角線A₁C₁、B₁D₁的交點，體對角線A₁C交截面AB₁D₁于點P，求證：O₁、P、A三點在同一條直線上．

Answer 1

分析：根據(jù)公理2，進行判斷O₁、P、A三點共線；根據(jù)公理1可知M，O₁、P、A∈平面AB₁D₁，因此得到答案．

解答：證明：如圖所示，
∵A₁C₁∩B₁D₁=O₁，∴O₁∈A₁C₁，O₁∈B₁D₁．
又∵A₁C₁?平面A₁C，B₁D₁?平面AB₁D₁，∴O₁∈平面A₁C，O₁∈平面AB₁D₁．
又∵A₁C∩平面AB₁D₁=P，∴P∈A₁C，P∈平面AB₁D₁．∴P∈平面A₁C．
又∵A∈平面A₁C，A∈平面AB₁D₁，
∴O₁、P、A三點都是平面AB₁D₁與平面A₁C的公共點，
∴O₁、P、A三點在同一條直線上．

點評：此題是個基礎(chǔ)題．考查空間點、線、面的位置關(guān)系以及平面相交和平面的確定公理，考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的記憶與理解程度．平面的基本性質(zhì)公理2是證明三點共線的依據(jù)之一．