已知函數(shù)f(x)=x2eax,其中a≤0,e為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值.
分析:(1)先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ(x),討論a,在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0即可.
(2)欲求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值,先求f(x)在區(qū)間[0,1]上的單調(diào)性,討論a的值,分別求出最大值.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=x(ax+2)e
ax.
(i)當(dāng)a=0時,令f'(x)=0,得x=0.
若x>0,則f'(x)>0,從而f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
若x<0,則f'(x)<0,從而f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.
(ii)當(dāng)a<0時,令
f′(x)=0,得x(ax+2)=0,故x=0或x=-.若x<0,則f'(x)<0,從而f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;
若
0<x<-,則f′(x)>0,從而f(x)在(0,-)上單調(diào)遞增;
若
x>-,
則f′(x)<0,從而f(x)在(-,+∞)上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)(i)當(dāng)a=0時,f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值是f(1)=1.
(ii)當(dāng)-2<a<0時,f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值是f(1)=e
a.
(iii)當(dāng)a≤-2時,f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值是
f(-)=. 點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.