Question

已知曲線C是到兩定點F₁（-2，0）、F₂（2，0）的距離之差的絕對值等于定長2a的點的集合．
（1）若a=

3

，求曲線C的方程；
（2）若直線l過（0，1）點，且與（1）中曲線C只有一個公共點，求直線方程；
（3）若a=1，是否存在一直線y=kx+2與曲線C相交于兩點A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由雙曲線定義得曲線C是以F₁（-2，0）、F₂（2，0）為焦點，以2

3

為實數(shù)的雙曲線，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，k=±

3

3

時，直線l為y=±

3

3

x+1與曲線C：

x2

3

-y2=1只有一個焦點．聯(lián)立

x2-3y2=3 y=kx+1

，得（1-3k²）x²-6kx-6=0，當(dāng)1-3k²≠0時，△=36k²+24（1-3k²）=0，由此能求出直線l的方程．
（3）當(dāng)a=1時，曲線C的方程為x2-

y2

3

=1，聯(lián)立

x2- y2 3 =1 y=kx+2

，得（3-k²）x²-4kx-4=0，由OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=4-

4

3-k2

=0，能求出k．

解答： 解：（1）∵曲線C是到兩定點F₁（-2，0）、F₂（2，0）的距離之差的絕對值等于定長2

3

，
∴由雙曲線定義得曲線C是以F₁（-2，0）、F₂（2，0）為焦點，
以2

3

為實數(shù)的雙曲線，
∴曲線C的方程為

x2

3

-y2=1．
（2）∵直線l過（0，1）點，
∴當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l為x=0，不成立；
當(dāng)直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，
當(dāng)k=±

3

3

時，直線l為y=±

3

3

x+1與曲線C：

x2

3

-y2=1只有一個焦點．
聯(lián)立

x2-3y2=3 y=kx+1

，得（1-3k²）x²-6kx-6=0，
當(dāng)1-3k²≠0時，
△=36k²+24（1-3k²）=0，
解得k=±2，
∴直線l與曲線C只有一個公共點，直線l的方程為y=±2x+1．
綜上所述，直線l的方程為y=±

3

3

x+1或y=±2x+1．
（3）當(dāng)a=1時，曲線C的方程為x2-

y2

3

=1，
聯(lián)立

x2- y2 3 =1 y=kx+2

，得（3-k²）x²-4kx-4=0，
△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k

3-k2

，x₁x₂=-

4

3-k2

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+4
=-

4k2

3-k2

+

4k2

3-k2

+4=4，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=4-

4

3-k2

=0，
3-k²=1，解得k=±

2

．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線的斜率是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．