Question

已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，b_n=

1

n

[lga₁+lga₂+…+lga_n-1+lg（ka_n）]，是否存在正數(shù)k，使數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列？

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先假設存在正數(shù)k使數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，設等比數(shù)列{a_n}的公比為q求出a_n，代入b_n利用對數(shù)的運算律、等比數(shù)列的通項公式化簡bn，再根據(jù)等差數(shù)列的定義得
bn-b_n-1=d（d為常數(shù)），再代入bn化簡判斷出lgk=0，進而求出k的值．

解答： 解：假設存在正數(shù)k使數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則a_n=a₁q^n-1＞0，
所以b_n=

1

n

[lga₁+lga₂+…+lga_n-1+lg（ka_n）]
=

1

n

lg[k（a₁a₂…a_n）]
=

1

n

lg[k(a1nq1+2+…+n-1)]
=

1

n

[lg(ka1n)+lgq

n(n-1)

2

]
=

1

n

[lg(ka1n)+lgq

n(n-1)

2

]
=

1

n

lgk+lga1+

n-1

2

lgq，
如果b_n為等差數(shù)列，則有b_n-b_n-1=d（d為常數(shù)），n≥2，
所以b_n-b_n-1=

1

n

lgk+lga1+

n-1

2

lgq-（

1

n-1

lgk+lga1+

n-2

2

lgq）
=

1

2

lgq-

1

n(n-1)

lgk為常數(shù)，
因為

1

n(n-1)

不可能為常數(shù)，所以系數(shù)lgk必為0，即lgk=0，
解得k=1．
則等差數(shù)列{b_n}的公差是

1

2

lgq，
所以存在這樣的k使得數(shù)列{bn}成等差數(shù)列，且k=1．

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的定義以及對數(shù)的運算律，較綜合，考查計算化簡能力．