Question

13．已知過點(diǎn)Q（$\frac{9}{2}$，0）的直線與拋物線C：y²=4x交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求證：y₁y₂為定值．
（Ⅱ）若△AOB的面積為$\frac{81}{4}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分直線與x軸垂直和不垂直分析，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)直接求出y₁y₂．當(dāng)不垂直時(shí)，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁y₂為定值；
（Ⅱ）利用弦長公式求出AB的長度，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出O到直線AB的距離，代入三角形面積公式求得k值，則直線AB的方程可求．

解答 （Ⅰ）證明：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，${y}^{2}=4×\frac{9}{2}=18$，得${y}_{1}=3\sqrt{2}，{y}_{2}=-3\sqrt{2}$．
∴y₁•y₂=-18；
當(dāng)直線AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-$\frac{9}{2}$）（k≠0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{9}{2}）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-2y-18k=0．
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：y₁•y₂=-18．
綜上，y₁y₂為定值；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得：${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2}{k}，{y}_{1}{y}_{2}=-18$，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}•\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}•\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}+72}$．
O到直線AB的距離d=$\frac{|-9k|}{\sqrt{4{k}^{2}+4}}$．
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}•\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}+72}•\frac{|9k|}{2\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{81}{4}$，解得k=$±\frac{2}{3}$．
∴直線AB的方程為$y=±\frac{2}{3}（x-\frac{9}{2}）$，即2x+3y-9=0或2x-3y-9=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．