Question

3．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=e^x+mx²-m（m＞0），當(dāng)x₁+x₂=1時(shí)，不等式f（x₁）+f（0）＞f（x₂）+f（1）恒成立，則實(shí)數(shù)x₁的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． $（0，\frac{1}{2}）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 通過變形可知問題轉(zhuǎn)化為不等式f（x₁）-f（1-x₁）＞f（1）-f（1-1）恒成立，設(shè)g（x）=f（x）-f（1-x）并求導(dǎo)可知g（x）在R上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性即得結(jié)論．

解答 解：∵不等式f（x₁）+f（0）＞f（x₂）+f（1）恒成立，
∴不等式f（x₁）-f（x₂）＞f（1）-f（0）恒成立，
又∵x₁+x₂=1，
∴不等式f（x₁）-f（1-x₁）＞f（1）-f（1-1）恒成立，
設(shè)g（x）=f（x）-f（1-x），
∵f（x）=e^x+mx²-m（m＞0），
∴g（x）=e^x-e^1-x+m（2x-1），
則g′（x）=e^x+e^1-x+2m＞0，∴g（x）在R上單調(diào)遞增，
∴不等式g（x₁）＞g（1）恒成立，
∴x₁＞1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于導(dǎo)數(shù)的綜合題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，構(gòu)造新函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．