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4.已知OA=(1,0),OB=(1,1),(x,y)=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB},若0≤λ≤1≤μ≤2時,z=\frac{x}{m}+\frac{y}{n}(m>0,n>0)的最大值為2,則m+n的最小值為\frac{5}{2}+\sqrt{6}

分析 化簡可得(x,y)=λ(1,0)+μ(1,1),從而可得x=λ+μ,y=μ;從而可得\frac{3}{2m}+\frac{1}{n}=1;再化簡(m+n)(\frac{3}{2m}+\frac{1}{n})=\frac{3}{2}+1+\frac{3n}{2m}+\frac{m}{n},從而利用基本不等式求最小值.

解答 解:∵\overrightarrow{OA}=(1,0),\overrightarrow{OB}=(1,1),
∴(x,y)=λ(1,0)+μ(1,1),
∴x=λ+μ,y=μ;
z=\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=\frac{λ+μ}{m}+\frac{μ}{n}
∵0≤λ≤1≤μ≤2,z=\frac{x}{m}+\frac{y}{n}(m>0,n>0)的最大值為2,
\frac{1+2}{m}+\frac{2}{n}=2,即\frac{3}{2m}+\frac{1}{n}=1;
故(m+n)(\frac{3}{2m}+\frac{1}{n})=\frac{3}{2}+1+\frac{3n}{2m}+\frac{m}{n}\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{5}{2}+\sqrt{6};
(當且僅當\frac{3n}{2m}=\frac{m}{n}時,等號成立).
故答案為:\frac{5}{2}+\sqrt{6}

點評 本題考查了平面向量的線性運算的應用及基本不等式的應用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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