Question

14．已知橢圓C：mx²+3my²=1（m＞0）的長軸長為2$\sqrt{6}$，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程和離心率；
（2）設點A（3，0），動點B在y軸上，動點P在橢圓C上，且P在y軸的右側，若|BA|=|BP|，求四邊形OPAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）將橢圓方程化為標準方程，由題意可得a，可得b，即可得到橢圓方程，再由離心率公式計算即可得到所求值；
（2）設AP中點為D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，進而得到BD的斜率和中點，可得直線BD的方程，即有B的坐標，求得四邊形OPAB的面積為S=S_△OAP+S_△OMB，化簡整理，運用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（1）橢圓C：mx²+3my²=1，即為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{3m}}$=1，所以a²=$\frac{1}{m}$，b²=$\frac{1}{3m}$，
a²=$\frac{1}{m}$，b²=$\frac{1}{3m}$，可得2a=2$\frac{1}{\sqrt{m}}$=2$\sqrt{6}$，
m=$\frac{1}{6}$，可得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
即有橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
由c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）設AP中點為D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，
由題意，可得直線BD的斜率存在，P（x₀，y₀）（y₀≠0），
則D（$\frac{{x}_{0}+3}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），直線AP的斜率為k_AP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$，
直線BD的斜率為-$\frac{1}{{k}_{AP}}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
可得BD的方程為y-$\frac{{y}_{0}}{2}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-$\frac{{x}_{0}+3}{2}$），
令x=0可得y=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-9}{2{y}_{0}}$，即B（0，$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-9}{2{y}_{0}}$），
由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{6}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$=1，可得x₀²=6-3y₀²，
化簡可得B（0，$\frac{-2{{y}_{0}}^{2}-3}{2{y}_{0}}$），
則四邊形OPAB的面積為S=S_△OAP+S_△OMB=$\frac{1}{2}$×3|y₀|+$\frac{1}{2}$×3|$\frac{-2{{y}_{0}}^{2}-3}{2{y}_{0}}$|
=$\frac{3}{2}$（2|y₀|+$\frac{3}{2|{y}_{0}|}$）≥$\frac{3}{2}$•2$\sqrt{2|{y}_{0}|•\frac{3}{2|{y}_{0}|}}$=3$\sqrt{3}$，
當且僅當2|y₀|=$\frac{3}{2|{y}_{0}|}$，即y₀=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]時，等號成立．
所以四邊形OPAB面積的最小值為3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和離心率的求法，注意運用橢圓的性質和離心率公式，考查四邊形面積的最值的求法，注意運用直線的斜率公式和基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．