12.已知函數(shù)f(x)=|x+a2|+|x-a-1|.
(1)證明:f(x)≥$\frac{3}{4}$;
(2)若f(4)<13,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)利用絕對值不等式,結(jié)合配方法,即可證明結(jié)論;
(2)f(4)<13,可得$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{{a}^{2}+a+1<13}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a<3}\\{{a}^{2}-a+7<13}\end{array}\right.$,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 (1)證明:f(x)=|x+a2|+|x-a-1|≥|x+a2-(x-a-1)|=|a2+a+1|=$(a+\frac{1}{2})^{2}$+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$.
(2)解:f(4)=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a+1,a≥3}\\{{a}^{2}-a+7,a<3}\end{array}\right.$,
∵f(4)<13,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{{a}^{2}+a+1<13}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a<3}\\{{a}^{2}-a+7<13}\end{array}\right.$,
∴-2<a<3.

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明,考查不等式的解法,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.如圖,在幾何體ABCDE中,ABCD為正方形,CE⊥平面ABE,且異面直線AD、CE所成的角為30°.
(Ⅰ)求證:平面ABCD⊥平面CBE;
(Ⅱ)求二面角B-AE-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱,Z1(1-i)=3-i,則Z2=( 。
A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.已知函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,x1<x2,則下面說法正確的是(  )
A.x1+x2<2B.a<e
C.x1x2>1D.有極小值點(diǎn)x0,且x1+x2<2x0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列{an}中,a1=2,且對任意的n∈N*,滿足an+1-an<2n+$\frac{1}{2},{a_{n+2}}-{a_n}>3×{2^n}$-1,則a2017=22017

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.已知A,B是單位圓上的兩點(diǎn),O為圓心,且∠AOB=90°,MN是圓O的一條直徑,點(diǎn)C在圓內(nèi),且滿足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+(1-λ)$\overrightarrow{OB}$(λ∈R),則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值為(  )
A.-$\frac{1}{2}$B.-$\frac{1}{4}$C.-$\frac{3}{4}$D.-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.對于函數(shù)f(x)=xlnx有如下結(jié)論:
①該函數(shù)為偶函數(shù);
②若f′(x0)=2,則x0=e;
③其單調(diào)遞增區(qū)間是[$\frac{1}{e}$,+∞);
④值域是[$\frac{1}{e}$,+∞);
⑤該函數(shù)的圖象與直線y=-$\frac{1}{e}$有且只有一個(gè)公共點(diǎn).(本題中e是自然對數(shù)的底數(shù))
其中正確的是②③⑤(請把正確結(jié)論的序號填在橫線上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.觀察下列關(guān)系式:
-1=-1.
-1+3=2,
-1+3-5=-3,
-1+3-5+7=4

則-1+3-5+7…+(-1)n(2n-1)=(-1)n•n.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R),a>0,且a≠1.
(Ⅰ)若3是關(guān)于x的方程f(x)-g(x)=0的一個(gè)解,求t的值;
(Ⅱ)當(dāng)0<a<1且t=1時(shí),解不等式f(x)≤g(x);
(Ⅲ)若函數(shù)F(x)=af(x)+tx2-2t+1在區(qū)間(-1,3]上有零點(diǎn),求t的取值范圍.

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