Question

已知角α、β滿足：5

3

sinα+5cosα=8，

2

sinβ+

6

cosβ=2且α∈（0，

π

3

），β∈（

π

6

，

π

2

），求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：把已知的式子分別提取10和2

2

，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把已知的兩個(gè)式子化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，并求出sin（α+

π

6

）和sin（β+

π

3

），分別根據(jù)角的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出cos（α+

π

6

）和cos（β+

π

3

），然后利用誘導(dǎo)公式把所求的式子化簡，并利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡后，將求出的各項(xiàng)分別代入即可求出值．

解答：解：∵5

3

sinα+5cosα=8，∴sin（α+

π

6

）=

4

5

，
∵α∈（0，

π

3

），∴α+

π

6

∈（

π

6

，

π

2

），∴cos（α+

π

6

）=

3

5

．
又∵

2

sinβ+

6

cosβ=2，∴sin（β+

π

3

）=

2

2

，
∵β∈（

π

6

，

π

2

），∴β+

π

3

∈（

π

2

，

5π

6

），∴cos（β+

π

3

）=-

2

2

，
∴cos（α+β）=sin[

π

2

+（α+β）]=sin[（α+

π

6

）+（β+

π

3

）]=sin（α+

π

6

）cos（β+

π

3

）+cos（α+

π

6

）sin（β+

π

3

）=-

2

10

，

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和的正弦函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，是一道綜合題．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意角的范圍及角的變換．