Question

已知函數(shù)f(x)=2x+

2

x

+alnx，a∈R．
（1）若a=-4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）記函數(shù)g（x）=x²[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f(x)=2x+

2

x

-4lnx進行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍，即可得到答案；
（2）要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2-

2

x2

+

a

x

≥0，x＞0，列出不等式a≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立，利用y=

2

x

-2x在[1，+∞）上單調(diào)遞減，最大值是0，求出a的取值范圍a≥0；
（3）由于函數(shù)g（x）=x²[f′（x）+2x-2]=2x³+ax-2（x＞0），則要利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（x）=2x³+ax-2在（0，+∞）上的最小值，讓最小值為-6，得到a的值，即可得f（x）的解析式．

解答：解：由函數(shù)f(x)=2x+

2

x

+alnx知，f′(x)=2-

2

x2

+

a

x

≥0，x＞0
（1）當(dāng)a=-4時，f′(x)=2-

2

x2

-

4

x

，x＞0，
令f′（x）＞0，則2-

2

x2

-

4

x

＞0，由于x＞0，即得2x²-4x-2＞0，即x²-2x-1＞0，解得：x＞1+

2

；
令f′（x）＜0，則2-

2

x2

-

4

x

＜0，由于x＞0，即得2x²-4x-2＜0，即x²-2x-1＜0，解得：0＜x＜1+

2

．
因此，函數(shù)f(x)=2x+

2

x

-4lnx的單調(diào)增區(qū)間是(1+

2

，+∞)，單調(diào)減區(qū)間是(0，1+

2

)．
（2）由于函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則f′(x)=2-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．
由于x≥1，得到2x-

2

x

+a≥0即a≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立．
而函數(shù)y=

2

x

-2x在[1，+∞）上是減函數(shù)，且ymax=

2

1

-2=0，
因此，實數(shù)a的取值范圍是a≥0．
（3）由題意知，函數(shù)g（x）=x²[f′（x）+2x-2]=x2(2-

2

x2

+

a

x

+2x-2)=2x³+ax-2（x＞0），
則g′（x）=6x²+a，令g′（x）=0得到x=

- a 6

或x=-

- a 6

（舍），
且當(dāng)0＜x＜

- a 6

時，g′（x）＜0；當(dāng)x＞

- a 6

時，g′（x）＞0，
則函數(shù)g（x）=2x³+ax-2（x＞0）在x=

- a 6

時取得極小值g（

- a 6

）=2(

- a 6

)3+a

- a 6

-2，也是定義域上的最小值．
又g（x）的最小值是-6，則2(

- a 6

) 3+a

- a 6

-2=-6，解得a=-6．
因此，函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=2x+

2

x

-6lnx．

點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．