Question

在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，-3）為△OAB的直角頂點(diǎn)，若|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于0
（1）求向量的坐標(biāo)；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得拋物線y=ax²-1上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由；

Answer 1

【答案】分析：（1）假設(shè)向量的值，根據(jù)|AB|=2|OA|、AB⊥OA得到方程組可解出向量的坐標(biāo)．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性找出x₁，y₁，x₂，y₂的關(guān)系，聯(lián)立方程可解．
解答：解：（1）設(shè)，
則由，得
解得或
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214036230860159/SYS201310232140362308601019_DA/7.png">
所以υ-3＞0，υ=8
故=（6，8）；
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）為
拋物線上關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩點(diǎn)，
則，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214036230860159/SYS201310232140362308601019_DA/10.png">
可得
即x1，x2為方程的兩個(gè)相異實(shí)根
于是，由，可得
故當(dāng)時(shí)，
拋物線y=ax2-1上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的基本運(yùn)算和對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題．向量運(yùn)算是高考必考題，注意運(yùn)算法則的記憶．