Question

6．已知平面上的兩個向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（2cosβ，2sinβ）（0＜β＜α＜π）．
（1）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{12}{5}$且cosβ=$\frac{4}{5}$，求sinα的值；
（2）判定向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$是否互相垂直．

Answer 1

分析 （1）cosβ=$\frac{4}{5}$，0＜β＜π，可得sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$．利用$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{12}{5}$=2cosα×2cosβ+2sinα×2sinβ）．可得cos（α-β）=$\frac{3}{5}$．同理可得sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$．利用sinα=sin[（α-β）+β]即可得出．
（2）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得：分別計(jì)算$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow|$．代入$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$，看是否為0，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（1）∵cosβ=$\frac{4}{5}$，0＜β＜π，
∴sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{3}{5}$．
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{12}{5}$=2cosα×2cosβ+2sinα×2sinβ）．
∴cos（α-β）=$\frac{3}{5}$．
∵0＜β＜α＜π，∴0＜α-β＜π．
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{5}$．
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=1．
（2）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（2sinα）^{2}}$=2，
$|\overrightarrow|$=$\sqrt{（2cosβ）^{2}+（2sinβ）^{2}}$=2．
（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$=2²-2²=0．
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）．

點(diǎn)評 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．