Question

求下列函數(shù)的值域:

(1)y=x-;(2)y=,x∈［0, ］.

Answer 1

思路分析:問題(1)函數(shù)式含有根式且不易去掉根號,平方易擴(kuò)大范圍,但由1-x²及1-x²≥0?-1≤x≤1的特點(diǎn)可聯(lián)想到利用三角換元,令x=cosθ,則問題迎刃而解.問題(2)觀察函數(shù)式為分式,且分子為二次式,分母為一次式,故采用配方法再進(jìn)一步整理為互為倒數(shù)式的形式,采用基本不等式法和單調(diào)性法求解.

解:(1)∵|x|≤1,

∴若設(shè)x=cosθ,θ∈［0,π］,

則y=cosθ-sinθ=cos(θ+).

∵θ∈［0,π］,∴≤θ+≤.于是-1≤cos(θ+)≤,

即有-≤y≤1.∴函數(shù)的值域為［-,1］.

(2)y===(1+cosx)+.

∵x∈［0,］,∴0≤cosx≤1.

∴1≤1+cosx≤2.

則y=(1+cosx)+≥.當(dāng)且僅當(dāng)1+cosx=,

即(1+cosx)²=2,則1+cosx=±(舍去).

故當(dāng)cosx=-1時取等號.

∴y_min=由f(x)=x+的單調(diào)性:

在(0,］上f(x)為減函數(shù),在［,2］上f(x)為增函數(shù),則當(dāng)1+cosx∈［1,］時,y∈［,3］;

當(dāng)1+cosx∈［,2］時,y∈［,3］,故得函數(shù)值域為［,3］

溫馨提示

    用換元法解題時,要切記“換元必?fù)Q限”,即要注意代換前后的元的取值范圍.用基本不等式法解題時要注意等號成立的條件,若不能取等號,則往往轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性法求解.記住一些函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,則可使解題思路更廣,解題路徑縮短,從而能快速,正確地獲解.