(2012•長春模擬)圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P(-1,2),AB為過點(diǎn)P但不與x軸垂直的弦,O為坐標(biāo)原點(diǎn).則
OA
OB
的取值范圍
[-8,2]
[-8,2]
分析:設(shè)直線AB方程為y-2=k(x+1),將它與圓方程消去y得關(guān)于x的方程,由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得x1+x2=-
2k2+4k
1+k2
,x1x2=
k2+4k-4
1+k2
,再結(jié)合直線方程算出y1y2=
-7k2+4k+4
1+k2
.由此得到
OA
OB
=x1x2+y1y2=-6+
  8k+6
1+k2
,利用導(dǎo)數(shù)工具討論關(guān)于k的函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得到
OA
OB
的取值范圍.
解答:解:設(shè)直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為y-2=k(x+1).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由
y-2=k(x+1)
x2+y2=8
消去y,
得(1+k2)x2+(2k2+4k)x+k2+4k-4=0
∴x1+x2=-
2k2+4k
1+k2
,x1x2=
k2+4k-4
1+k2

可得y1y2=[k(x1+1)+2][k(x2+1)+2]=k2x1x2+(k+2)(x1+x2)+(k+2)2=
-7k2+4k+4
1+k2

從而有
OA
OB
=x1x2+y1y2=
k2+4k-4
1+k2
+
-7k2+4k+4
1+k2
=-6+
  8k+6
1+k2

設(shè)F(k)=
  8k+6
1+k2
,則F'(k)=
  8(1+k2)-2k(8+6k)
(1+k2)2
=-
  4(2k-1)(k+2)
(1+k2)2

∴當(dāng)k<-2或k>
1
2
時(shí),F(xiàn)'(k)<0;當(dāng)-2<k<
1
2
時(shí),F(xiàn)'(k)>0
函數(shù)F(k)在(-∞,-2)和(
1
2
,+∞)上是減函數(shù),在(-2,
1
2
)上是增函數(shù);
由此可得F(k)的最小值為它的極小值F(-2)=-2,最大值是它的極大值F(
1
2
)=8
OA
OB
=-6+
  8k+6
1+k2
的最小值為-8,最小值為2
OA
OB
的取值范圍為[-8,2]
故答案為:[-8,2]
點(diǎn)評(píng):本題在直線與圓相交的情況下,求數(shù)量積的取值范圍,著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和向量數(shù)量積的運(yùn)算等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•長春模擬)設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),且對(duì)于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果實(shí)數(shù)m、n滿足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2 的取值范圍是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•長春模擬)如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=
3
,BC=4.
(1)求證:BD⊥PC;
(2)當(dāng)PD=1時(shí),求此四棱錐的表面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•長春模擬)選修4-5;不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集為{x|-2≤x≤3},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,若存在實(shí)數(shù)n使f(n)≤m-f(-n)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•長春模擬)一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓,那么這個(gè)幾何體的體積為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•長春模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足4b1-14b2-14b3-14bn-1=(an+1)n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案