Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|（a∈R）．
（I）當(dāng)a=3時(shí)，解不等式f（x）≥4-|x+l|；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集為[1，3]，且$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=a$（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=3，不等式即|x-3|+|x-1|≥4，不等式恒成立，從而求得|x-2|+|x-1|≥5的解集．
（Ⅱ）由f（x）≤1求得 a-1≤x≤a+1，再根據(jù)f（x）≤1的解集為[1，3]，可得a=2，再利用基本不等式的性質(zhì)求出最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=3，不等式f（x）≥4-|x-1|，即|x-3|+|x-1|≥|x-3-x+1|=4．
由絕對值的意義可得；不等式恒成立，故|x-3|+|x-1|≥4的解集為R．
（Ⅱ）由f（x）≤1 可得-1≤x-a≤1，求得 a-1≤x≤a+1，
再根據(jù)f（x）≤1的解集為[1，3]，可得a=2．
故有$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=2（m＞0，n＞0），即$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{4n}$=1，
∴m+2n=（m+2n）（$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{4n}$）=1+$\frac{m}{4n}$+$\frac{n}{m}$≥2，
當(dāng)且僅當(dāng) $\frac{m}{4n}$=$\frac{n}{m}$時(shí)，等號成立，故m+2n的最小值是2．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．