19.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)圖象過點(e,0),f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù),若x>0時,xf'(x)<2恒成立,則不等式f(x)+2≥2lnx解集為(0,e].

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+2-2lnx,x>0,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可.

解答 解:由f(x)+2≥2lnx得f(x)+2-2lnx≥0,
設(shè)g(x)=f(x)+2-2lnx,x>0,
則g′(x)=f′(x)-$\frac{2}{x}$=$\frac{xf′(x)-2}{x}$,
∵x>0時,xf'(x)<2恒成立,
∴此時g′(x)=$\frac{xf′(x)-2}{x}$<0.
即此時函數(shù)g(x)為減函數(shù),
∵y=f(x)(x∈R)圖象過點(e,0),
∴f(e)=0,
則g(e)=f(e)+2-2lne=2-2=0,
則f(x)+2-2lnx≥0,等價為g(x)≥0,
即g(x)≥g(e),
∵函數(shù)g(x)在(0,+∞)為減函數(shù),
∴0<x≤e,
即不等式f(x)+2≥2lnx解集為(0,e],
故答案為:(0,e]

點評 本題主要考查不等式的求解,根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,有一定的難度.

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