設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
6
）+cos2x+
3
sinx•cosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期．
（2）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cosB=
1
3
，f（
C
2
）=
5
2
，求sinA．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+
π
6
）+
1
2
，由此求出函數(shù)f（x）的
最大值以及最小正周期．
（2）根據(jù)cosB=
1
3
，f（
C
2
）=
5
2
，求出C=
π
3
，再由sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
6
）+cos2x+
3
sinx•cosx=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+
1+cos2x
2
+
3
2
sin2x
=
3
sin2x+cos2x+
1
2
=2sin（2x+
π
6
）+
1
2
，
所以函數(shù)f（x）的最大值是
5
2
，最小正周期為π．
（2）f（
C
2
）=2sin（C+
π
6
）+
1
2
=
5
2
，所以，2sin（C+
π
6
）=1，
又C為△ABC的內(nèi)角，所以C=
π
3
．
又因?yàn)樵凇鰽BC 中，cosB=
1
3
，所以，sinB=
2
2
3
，
所以，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=
2
2
+
3
6
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，復(fù)合三角函數(shù)的周期性和求法，求復(fù)合三角函數(shù)的值域，
屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（
π8
，-1）．
（1）求φ；  
（2）求函數(shù)y=f（x）的周期和單調(diào)增區(qū)間；
（3）在給定的坐標(biāo)系上畫(huà)出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間，[0，π]上的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2π+?）（-π＜?＜0），y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=
π8
．
（Ⅰ）求?；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）證明直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=
π8
．
（1）求φ；
（2）怎樣由函數(shù)y=sin x的圖象變換得到函數(shù)f（x）的圖象，試敘述這一過(guò)程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f （x）=sin(2x+
π
3
)+
3
3
sin2x-
3
3
cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g （x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
3
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-
π
2
＜?＜
π
2
），給出以下四個(gè)論斷：
①它的圖象關(guān)于直線x=
π
12
對(duì)稱；        
②它的周期為π；
③它的圖象關(guān)于點(diǎn)（
π
3
，0）對(duì)稱；      
④在區(qū)間[-
π
6
，0]上是增函數(shù)．
以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下兩個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的兩個(gè)命題：
（1）
①③⇒②④
①③⇒②④
； （2）
①②⇒③④
①②⇒③④
．

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