Question

已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）。（Ⅱ）的取值范圍為。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知，

所以                         2分

因為是函數(shù)的極值點，所以，即

因為，所以                        4分

（Ⅱ）對任意的都有成立，

等價于對任意的都有

當時，,所以在上是增函數(shù)

所以                        6分

因為，且，         7分

①當且時，，

所以函數(shù)在上是增函數(shù)

∴

由≥，得≥

又，∴不合題意．                       9分

②當1≤≤時

若1≤＜，則

若＜≤，則

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

∴

由≥，得≥

又1≤≤，∴≤≤                         11分

③當且時，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)

∴, 由≥，得≥

又，∴                             13分

綜上所述，的取值范圍為                     14分

考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，不等式恒成立問題。

點評：難題，本題屬于導數(shù)應用中的基本問題，在某區(qū)間，導數(shù)值非負，函數(shù)為增函數(shù)，導數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)。不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的最值，往往通過構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的最值，使問題得解。本題解答需要對a的取值進行分類討論，易于出錯，是較難的題目。