Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1+x2

1-x2

．
（1）求它的定義域； 
（2）判斷它的奇偶性；
（3）求證：f（

1

x

）=-f（x）；
（4）求f（-

1

4

）+f（-

1

3

）+f（-

1

2

）+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，得1-x²≠0，由此能求出函數(shù)的定義域．
（2）由f（-x）=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f（x），得函數(shù)f（x）=

1+x2

1-x2

是偶函數(shù)．
（3）由f（

1

x

）=

1+ 1 x2

1- 1 x2

=

x2+1

x2-1

=-

1+x2

1-x2

=-f（x），能證明f（

1

x

）=-f（x）．
（4）由f（

1

x

）=-f（x），f（-x）=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f（x），得f（-

1

4

）+f（-

1

3

）+f（-

1

2

）+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）=f（0）=1．

解答： （1）解：由題意，得1-x²≠0，解得x≠±1，
∴函數(shù)的定義域為（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）．
（2）解：∵f（-x）=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f（x），
∴函數(shù)f（x）=

1+x2

1-x2

是偶函數(shù)．
（3）證明：∵函數(shù)f（x）=

1+x2

1-x2

，
∴f（

1

x

）=

1+ 1 x2

1- 1 x2

=

x2+1

x2-1

=-

1+x2

1-x2

=-f（x），
故f（

1

x

）=-f（x）．
（4）解：∵f（

1

x

）=-f（x），f（-x）=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f（x），
∴f（-

1

4

）+f（-

1

3

）+f（-

1

2

）+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）
=f（

1

4

）+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）
=f（0）
=1．

點評：本題考查函數(shù)的定義域、奇偶性的判斷，考查等式的證明，考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．