Question

定義f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x²．若對任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：利用函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系，解不等式即可．

解答： 解：∵當x≥0時，f（x）=x²，
∴此時函數(shù)f（x）單調遞增，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在R上單調遞增，
若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，
∵2f（x）=2x²=（

2

x）²=f（

2

x），
∴f（x+a）≥f（

2

x）恒成立，
則x+a≥

2

x恒成立，
即a≥-x+

2

x=(

2

-1)x恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（(

2

-1)x）_max=(

2

-1)（a+2），
即a≥(

2

-1)（a+2），
解得a≥

2

，
即實數(shù)a的取值范圍是故答案為[

2

，+∞)．
故答案為：[

2

，+∞)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，以及不等式恒成立問題，綜合考查函數(shù)的性質，是中檔題．